スコルの知恵袋

主にプログラミング関係の気になったこと等をまとめたブログ

x^a / e^x の極限

数学ひとくちメモ

任意の実数 $\alpha$ について

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0 }$

それはそう。だけど、一応証明しておこう。

証明

$\displaystyle{ e^x > 1 + x + \cdots + \frac{x^{\lfloor \alpha \rfloor}}{\lfloor \alpha \rfloor !} + \frac{x^{\lfloor \alpha \rfloor + 1}}{(\lfloor \alpha \rfloor + 1) !} > \frac{x^{\lfloor \alpha \rfloor + 1}}{(\lfloor \alpha \rfloor + 1) !} \quad (x > 0) }$

であるから、

$\displaystyle{ 0 < \frac{x^\alpha}{e^x} < \frac{x^\alpha}{\frac{x^{\lfloor \alpha \rfloor + 1}}{(\lfloor \alpha \rfloor + 1) !}} \quad (x > 0) }$

最右辺の極限は0であるからはさみうちの原理より

$\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0 }$

(証明終わり)

$\alpha$ は複素数でもいい。 $e^x$ にはいくらでも大きい次数の冪関数が含まれているので、どうあがいても冪関数では指数関数に勝てない......というお話でした。